मान लीजिए Q(x) घात n का एक बहुपद है। यदि Q(1) | vedclass

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Question

(C) $Q(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है। दिया है $Q(1)=1$ और $\frac{Q(2x)}{Q(x+1)}+\frac{56}{x+7}-8=0 \dots (i)$. समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखने पर,$\frac{Q(0)

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$8$

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(C) $Q(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है। दिया है $Q(1)=1$ और $\frac{Q(2x)}{Q(x+1)}+\frac{56}{x+7}-8=0 \dots (i)$. समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखने पर,$\frac{Q(0)}{Q(1)}+\frac{56}{7}-8=0$. चूंकि $Q(1)=1$,हमारे पास $Q(0)+8-8=0$ है,अतः $Q(0)=0$. समीकरण $(i)$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{Q(2x)}{Q(x+1)} = 8 - \frac{56}{x+7} = \frac{8x+56-56}{x+7} = \frac{8x}{x+7} \dots (ii)$. चूंकि $Q(0)=0$,$x$ बहुपद $Q(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $Q(x) = x P(x)$. $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2x P(2x)}{(x+1) P(x+1)} = \frac{8x}{x+7} \implies \frac{P(2x)}{P(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7}$. $x=-1$ के लिए,$P(-2)=0$,अतः $(x+2)$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $P(x) = (x+2) R(x)$. तब $\frac{(2x+2) R(2x)}{(x+3) R(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7} \implies \frac{R(2x)}{R(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7}$. $x=-3$ के लिए,$R(-6)=0$,अतः $(x+6)$ बहुपद $R(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $R(x) = (x+6) S(x)$. तब $\frac{(2x+6) S(2x)}{(x+7) S(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7} \implies \frac{S(2x)}{S(x+1)} = 1$. अतः $S(x)$ एक अचर है। इसलिए $Q(x) = c \cdot x(x+2)(x+6)$. चूंकि $Q(1)=1$,$c(1)(3)(7)=1 \implies c = \frac{1}{21}$. घात $n=3$. ${}^nC_0+{}^nC_1+\ldots+{}^nC_n$ का मान $2^n = 2^3 = 8$ है।

मान लीजिए $Q(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है। यदि $Q(1)=1$ और $\frac{Q(2x)}{Q(x+1)}+\frac{56}{x+7}-8=0$ है,तो ${}^nC_0+{}^nC_1+\ldots+{}^nC_n$ का मान किसके बराबर है?

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$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$

यदि $\frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n} + \frac{1}{n} {}^{n}C_{n-1} + \dots + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{0} = \frac{1023}{10}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$
कथन $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$

यदि $\binom{40}{0} + \binom{41}{1} + \binom{42}{2} + \dots + \binom{60}{20} = \frac{m}{n} \binom{60}{20}$,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$^nC_0, ^nC_1, ^nC_2, \dots, ^nC_n$ का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

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