मान लीजिए f(x) = lim_{y rightarrow infty} y(x | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,$f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} y(x^{1/y} - 1)$.सबसे पहले,हम $f(x)$ को सरल करते हैं:$f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} \frac{x^{1

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$2024$

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(D) दिया गया है,$f(x) = \lim_{y ightarrow \infty} y(x^{1/y} - 1)$.सबसे पहले,हम $f(x)$ को सरल करते हैं:$f(x) = \lim_{y ightarrow \infty} \frac{x^{1/y} - 1}{1/y}$.मान लीजिए $t = 1/y$. जैसे $y ightarrow \infty$,वैसे $t ightarrow 0^+$.$f(x) = \lim_{t ightarrow 0} \frac{x^t - 1}{t}$.मानक सीमा $\lim_{t ightarrow 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln(a)$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \ln(x)$ प्राप्त होता है।अब,$f(x) = \ln(x)$ को दिए गए समीकरण $2022 f(\frac{1}{x}) + P f(x) = f(x^2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$2022 \ln(\frac{1}{x}) + P \ln(x) = \ln(x^2)$.चूंकि $\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$ और $\ln(x^2) = 2 \ln(x)$:$2022(-\ln(x)) + P \ln(x) = 2 \ln(x)$.$-2022 \ln(x) + P \ln(x) = 2 \ln(x)$.$\ln(x)$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 1$ के लिए):$-2022 + P = 2$.$P = 2024$.

मान लीजिए $f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} y(x^{1/y} - 1)$,और $2022 f(\frac{1}{x}) + P f(x) = f(x^2)$,तो $P =$

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यदि $a = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^2}$ और $b = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3}$ है,तो

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