मान लीजिए 1, omega और omega^2 इकाई के घनमूल ह | vedclass

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Question

(A) आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \ \omega & 1 & c \ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह के गैर-व्युत्क्रमणीय होने के लिए,इसका सा

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$2$

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(A) आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \ \omega & 1 & c \ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह के गैर-व्युत्क्रमणीय होने के लिए,इसका सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए: $\det(M) 
eq 0$.सारणिक की गणना करने पर: $\det(M) = 1(1 - \omega c) - a(\omega - \omega^2 c) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - \omega c - a\omega + a\omega^2 c = 1 - \omega(a + c) + a\omega^2 c$.दिया गया है कि $a, c \in \{\omega, \omega^2\}$,हम संयोजनों की जाँच करते हैं:$1$. यदि $a = \omega, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega) + \omega(\omega^2)(\omega) = 1 - 2\omega^2 + \omega^4 = 1 - 2\omega^2 + \omega = 1 - 2\omega^2 + (-1 - \omega^2) = -3\omega^2 
eq 0$.$2$. यदि $a = \omega^2, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega^2) + \omega^2(\omega^2)(\omega^2) = 1 - 2\omega^3 + \omega^6 = 1 - 2(1) + 1 = 0$.$3$. यदि $a = \omega, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega + \omega^2) + \omega(\omega^2)(\omega^2) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.$4$. यदि $a = \omega^2, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega^2 + \omega) + \omega^2(\omega^2)(\omega) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.चूँकि $b$ का मान $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है जब $\det(M) 
eq 0$ हो,और केवल $(a, c) = (\omega, \omega)$ की स्थिति में ही सारणिक शून्य नहीं होता है,इसलिए $b$ के लिए $2$ संभावित मान हैं।अतः,$S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

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