मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $|f(x) - f(y)| \leq 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$.दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq y$),हमें $\left|\frac{f(x) -

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(D) दिया गया है कि $|f(x) - f(y)| \leq 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$.दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq y$),हमें $\left|\frac{f(x) - f(y)}{x - y}ight| \leq 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।जैसे ही $x ightarrow y$,बायां पक्ष अवकलज की परिभाषा $|f'(y)|$ बन जाता है।अतः,$|f'(y)| \leq 2 \lim_{x ightarrow y} |x - y|^{\frac{1}{2}} = 0$.चूंकि निरपेक्ष मान ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।इसका मतलब है कि $f(x)$ एक अचर फलन है,$f(x) = c$.चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $c = 1$,अतः $f(x) = 1$.इसलिए,$\int_0^1 f^2(x) dx = \int_0^1 (1)^2 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$.

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $|f(x) - f(y)| \leq 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ सभी $x, y \in R$ के लिए। यदि $f(0) = 1$ है,तो $\int_0^1 f^2(x) dx = $

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