मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ कोई तीन असमतलीय सदिश हैं। यदि $m$ और $n$ ऐसे अदिश हैं कि $\vec{a}+\vec{b}=m \vec{d}-\vec{c}$ और $\vec{b}+\vec{c}=n \vec{a}-\vec{d}$ है,तो $3 \vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}+\vec{d}=$

मान लीजिए कि एक त्रिभुज के तीन शीर्षों के स्थिति सदिश $4 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3 \overrightarrow{r}$,$-5 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ और $2 \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ हैं। यदि त्रिभुज के लंबकेंद्र $(O)$ और परिकेंद्र $(C)$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ और $\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$ हैं,तो $\alpha + 2 \beta + 5 \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$ है। यदि $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ और $\vec{d}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,तो $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ का मान . . . . . . है।

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ की दो आसन्न भुजाओं $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ को दर्शाते हैं,तो $\vec{AE} = \dots$

निम्नलिखित सूचियों का अवलोकन करें। फिर सूची-$I$ के लिए सूची-$II$ से सही मिलान है:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

यदि $b$ और $c$ असंरेख सदिश हैं, $|c| \neq 0$, $a \times(b \times c)+(a \cdot b) b=(4-2 \beta-\sin \alpha) b+\left(\beta^2-1\right) c$ और $(c \cdot c) a=c$ है, तो अदिश $\alpha$ और $\beta$ क्या हैं?