मान लीजिए P एक वास्तविक संख्या है और |P| geq | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $\vec{u} = \sqrt{P^2-4} \hat{i} + P \hat{j} + \sqrt{P^2+4} \hat{k}$ और $\vec{v} = 	an A \hat{i} + 	an B \hat{j} + 	an C \hat{k}$ है।ड

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$12$

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(C) मान लीजिए $\vec{u} = \sqrt{P^2-4} \hat{i} + P \hat{j} + \sqrt{P^2+4} \hat{k}$ और $\vec{v} = 	an A \hat{i} + 	an B \hat{j} + 	an C \hat{k}$ है।डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{P^2-4} 	an A + P 	an B + \sqrt{P^2+4} 	an C = 6P$ है।हम जानते हैं कि $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos 	heta$,जहाँ $	heta$ सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण है।सबसे पहले,$\vec{u}$ का परिमाण ज्ञात करें:$|\vec{u}| = \sqrt{(\sqrt{P^2-4})^2 + P^2 + (\sqrt{P^2+4})^2} = \sqrt{P^2-4 + P^2 + P^2+4} = \sqrt{3P^2} = \sqrt{3} |P|$।अतः,$|\vec{u}| |\vec{v}| \cos 	heta = \sqrt{3} |P| \sqrt{	an^2 A + 	an^2 B + 	an^2 C} \cos 	heta = 6P$ है।चूंकि $|P| \geq 2$,इसलिए $\sqrt{	an^2 A + 	an^2 B + 	an^2 C} = \frac{6P}{\sqrt{3} P \cos 	heta} = 2\sqrt{3} \sec 	heta$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$	an^2 A + 	an^2 B + 	an^2 C = (2\sqrt{3})^2 \sec^2 	heta = 12 \sec^2 	heta$ है।चूंकि $\sec^2 	heta \geq 1$,इसलिए न्यूनतम मान $12(1) = 12$ है।

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