मान लीजिए pi वह समतल है जो बिंदु (3,-3,1) से | vedclass

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Question

(C) समतल $\pi$ बिंदु $(3,-3,1)$ से गुजरता है और बिंदुओं $(3,4,-1)$ तथा $(2,-1,5)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।समतल $\pi$ के अभिलंब के दिक अनुपात $

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$d$

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(C) समतल $\pi$ बिंदु $(3,-3,1)$ से गुजरता है और बिंदुओं $(3,4,-1)$ तथा $(2,-1,5)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।समतल $\pi$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(3-2, 4-(-1), -1-5) = (1, 5, -6)$ हैं।अतः,समतल $\pi$ का समीकरण $1(x-3) + 5(y+3) - 6(z-1) = 0$ है,जो सरल करने पर $x+5y-6z+18=0$ प्राप्त होता है।मान लीजिए दूसरा समतल $P_2: ax+y+cz-d=0$ है। यह समतल बिंदुओं $(3,4,-1)$ और $(-1,2,5)$ को समाहित करता है।चूंकि $(3,4,-1)$,$P_2$ पर स्थित है,इसलिए $3a+4+c(-1)-d=0 \Rightarrow 3a-c-d=-4$ ... $(i)$.चूंकि $(-1,2,5)$,$P_2$ पर स्थित है,इसलिए $-a+2+5c-d=0 \Rightarrow -a+5c-d=-2$ ... (ii).$(i)$ में से (ii) घटाने पर,$4a-6c=-2 \Rightarrow 2a-3c=-1$ ... (iii).$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (a, 1, c)$ है और $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 5, -6)$ है।चूंकि $P_2 \perp \pi$,उनके अभिलंब परस्पर लंबवत हैं: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow a(1) + 1(5) + c(-6) = 0 \Rightarrow a-6c=-5$ ... (iv).(iv) से,$a = 6c-5$. इसे (iii) में रखने पर: $2(6c-5)-3c=-1 \Rightarrow 12c-10-3c=-1 \Rightarrow 9c=9 \Rightarrow c=1$.तब $a = 6(1)-5 = 1$.$a=1, c=1$ को $(i)$ में रखने पर: $3(1)-1-d=-4 \Rightarrow 2-d=-4 \Rightarrow d=6$.अंत में,$3(a+c) = 3(1+1) = 6$. चूंकि $d=6$,इसलिए $3(a+c) = d$.

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