मान लीजिए $A(\theta_1)$ और $B(\theta_2)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर दो बिंदु हैं और $S$ अतिपरवलय की नाभि है। यदि $A, S, B$ संरेख हैं और $a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)=k \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)$ है,तो $k=$

रेखा $y = mx + c$ वक्र $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करती है,यदि

$k$ के विभिन्न मानों के लिए रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ और $\sqrt{3}kx + ky - 4\sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $P(4, 2\sqrt{3})$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $32$ है। यदि $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई $p$ है और इसके नाभिलंब की लंबाई $q$ है,तो $p^2 + q^2$ का मान ...... है।

यदि अतिपरवलय की नाभिलंब जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है,तो इसकी उत्केंद्रता है

मान लीजिए कि $X$-अक्ष एक अतिपरवलय $H$ का अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) है और $Y$-अक्ष संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) है। यदि $H$ की उत्केंद्रता (eccentricity),दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है,और यदि $(5, 4)$ अतिपरवलय $H$ पर स्थित एक बिंदु है,तो $H$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई ज्ञात कीजिए।