मान लीजिए $l, m, n \in R$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & r & r^2 & l \\ r & r^2 & 1 & m \\ r^2 & 1 & r & n \end{bmatrix}$ है। तब $r$ के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय जिनके लिए $A$ की कोटि (rank) $3$ है, है

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$ है,तो:

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$,जहाँ $p$ एक स्थिरांक है। तो $x = 0$ पर $\frac{d^3}{dx^3} \{f(x)\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin x + \sin 2x + \sin 3x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 3 + 4 \sin x & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 1 + \sin x & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$ है, तो $\int_0^{\pi / 2} (f(x) + f^{\prime}(x)) dx =$

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 2 \sin 2x & 4 \cos^2 x \\ \cos x & 4 \sin^2 x & 2 \sin 2x \\ 0 & -\cos x & \sin x \end{array} \right|$ है, तो $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{5\pi}{4}\right) = $

यदि $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ है, तो $\Delta(x)$ में $x$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।