माना f(x) = begin{cases} 3-x & text{यदि } x

Question

(C) $x = -3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x 	o -3^-} f(x) = \lim_{x 	o -3^-} (3-x) = 3 - (-3) = 6$. $\lim_{x 	o -3^+} f(x) = 6$. $f(-3) = 6$.

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$2$

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(C) $x = -3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x 	o -3^-} f(x) = \lim_{x 	o -3^-} (3-x) = 3 - (-3) = 6$. $\lim_{x 	o -3^+} f(x) = 6$. $f(-3) = 6$. चूँकि $\lim_{x 	o -3^-} f(x) = \lim_{x 	o -3^+} f(x) = f(-3)$, फलन $x = -3$ पर संतत है। $x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x 	o 3^-} f(x) = 6$. $\lim_{x 	o 3^+} f(x) = \lim_{x 	o 3^+} (3+x) = 3+3 = 6$. $f(3) = 6$. चूँकि $\lim_{x 	o 3^-} f(x) = \lim_{x 	o 3^+} f(x) = f(3)$, फलन $x = 3$ पर संतत है। अतः, फलन हर जगह संतत है, इसलिए असांतत्य बिंदुओं की संख्या $\alpha = 0$ है। $x = -3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर: $x = -3$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$: $\frac{d}{dx}(3-x) = -1$. $x = -3$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$. चूँकि $LHD 
eq RHD$, $f$ बिंदु $x = -3$ पर अवकलनीय नहीं है। $x = 3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर: $x = 3$ पर $LHD$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$. $x = 3$ पर $RHD$: $\frac{d}{dx}(3+x) = 1$. चूँकि $LHD 
eq RHD$, $f$ बिंदु $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः, अन-अवकलनीय बिंदुओं की संख्या $\beta = 2$ है। इसलिए, $\alpha + \beta = 0 + 2 = 2$.

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