मान लीजिए f(x) = begin{cases} alpha + frac{si | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, इसलिए शर्त $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए। सबसे पहले, बा

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$1$

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(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, इसलिए शर्त $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए। सबसे पहले, बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें: $	ext{LHL} = \lim_{x 	o 0^-} \left( \beta + \left[ \frac{\sin x - x}{x^3} ight] ight)$. टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए, $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$, इसलिए $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-x^3/6 + x^5/120}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120}$. जैसे $x 	o 0^-$, $\frac{\sin x - x}{x^3} 	o -\frac{1}{6}$. अतः, $	ext{LHL} = \beta + [-1/6] = \beta - 1$. अब, दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें: $	ext{RHL} = \lim_{x 	o 0^+} \left( \alpha + \frac{\sin [x]}{x} ight)$. $0 अतः, $	ext{RHL} = \lim_{x 	o 0^+} (\alpha + 0) = \alpha$. दिया गया है कि $f(0) = 2$, इसलिए $\beta - 1 = 2 = \alpha$. अतः, $\beta = 3$ और $\alpha = 2$. इसलिए, $\beta - \alpha = 3 - 2 = 1$.

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दर्शाइए कि $f(x) = |1 - x + |x||$ द्वारा परिभाषित फलन $f$,जहाँ $x$ कोई वास्तविक संख्या है,एक संतत फलन है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^p \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। तब $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है यदि:

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