मान लीजिए f: R rightarrow R को f(x) = log lef | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = \log \left[e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right]$ है।लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, $\log(ab) = \log a + \log b$

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$\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन $f(x) = \log \left[e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right]$ है।लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, $\log(ab) = \log a + \log b$ और $\log(a^n) = n \log a$, हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:$f(x) = \log(e^x) + \log \left(\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right)$$f(x) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.अब, $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{3}{4} \left[ \frac{d}{dx}(\log(x-2)) - \frac{d}{dx}(\log(x+2)) \right]$$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$.कोष्ठक के अंदर के पद को सरल बनाने पर:$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x^2-4}$.इस मान को अवकलज में वापस रखने पर:$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{4}{x^2-4} \right) = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.अंत में, $x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:$f'(0) = 1 + \frac{3}{0^2-4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \log \left[e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right]$ द्वारा परिभाषित किया गया है। $f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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