मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $p, q$ और $r$ वे सदिश हैं जो $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$ द्वारा परिभाषित हैं। तो, $(a+b) \cdot p+(b+c) \cdot q+(c+a) \cdot r$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक सदिश $\vec{a}$,सदिशों $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ के साथ समतलीय है। यदि $\vec{a}$,$\vec{d}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ के लंबवत है,और $|\vec{a}|=\sqrt{10}$ है,तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]+[\vec{a} \vec{b} \vec{d}]+[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]$ का एक संभावित मान बराबर है:

यदि सदिश $i + 3j$,$5k$ और $\Pi - j$ समतलीय हैं,तो $P$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ और $\gamma = i + j + k$ है,तो $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ त्रिविमीय अंतरिक्ष में सदिश हैं,जहाँ $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$ इकाई सदिश हैं जो एक-दूसरे के लंबवत नहीं हैं और $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ है। यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निरूपित हैं,$\sqrt{2}$ है,तो $|3\vec{u}+5\vec{v}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो $[(a \times b) \times(b \times c), (b \times c) \times(c \times a), (c \times a) \times(a \times b)] = $