मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $L$ वह रेखा है जो $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{b}-\vec{c}$ बिंदुओं से होकर गुजरती है। यदि $\pi$ एक समतल है जो $2\vec{a}-\vec{b}, 2\vec{b}-\vec{c}$ और $2\vec{c}-\vec{a}$ बिंदुओं से होकर गुजरता है, तो $L$ और $\pi$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है

$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{CD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ दो सदिश हैं। बिंदु $A$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-9\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं। रेखा $AB$ पर एक बिंदु $P$ और रेखा $CD$ पर एक बिंदु $Q$ के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ताकि $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ दोनों के लंबवत हो।

बिंदु $(3,2,0)$ और रेखा $\frac{x-3}{1}=\frac{y-6}{5}=\frac{z-4}{4}$ को समाहित करने वाला समतल है

बिंदु $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ से समतल $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई और लंबपाद ज्ञात कीजिए।

यदि $n=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$m=\hat{i}-\hat{j}$,और $l=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है,तो दो समतलों $r \cdot n=1$ और $r \cdot m=-4$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $r \cdot l=-8$ के लंबवत समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $Q$,समतल $S: x + y + z = 5$ के सापेक्ष बिंदु $P(1, 0, 1)$ का प्रतिबिंब है। यदि $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाली और रेखा $PQ$ के समानांतर एक रेखा $L$,समतल $S$ को $R$ पर मिलती है,तो $QR^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।