मान लीजिए $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 12$ है। तो

मान लीजिए $f(x) = ax^2 - b|x|$,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं। तो $x = 0$ पर,$f(x)$ के पास

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन $f''(x)$ बाकी हर जगह ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | अपरिभाषित | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ का संभावित ग्राफ है:

यदि $\alpha$ वक्रों $y = a^x$ और $y = b^x$ के बीच का प्रतिच्छेदन कोण है,तो $\tan \alpha$ किसके बराबर है?

वक्र $y \cot x = y^3 \tan x$ के लिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ भुज (abscissa) $\frac{\pi}{4}$ है:

मान लीजिए कि $f(x)$,$x$ में $6$ घात का एक बहुपद है,जिसमें $x^{6}$ का गुणांक $1$ है और इसके $x=-1$ तथा $x=1$ पर चरम बिंदु (extrema) हैं। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=1$ है,तो $5 \cdot f(2)$ का मान ............. है।