ધારો કે a = min {x^{2} + 2x + 3 : x in R} અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) પ્રથમ, $a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ શોધો. દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ દ્વારા મળે છે. અહીં $A=1, B=

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4^{n+1}-1}{3 \cdot 2^{n}}$

Vedclass · Answer

(C) પ્રથમ, $a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ શોધો. દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ દ્વારા મળે છે. અહીં $A=1, B=2, C=3$ છે, તેથી $a = \frac{4(1)(3) - (2)^{2}}{4(1)} = \frac{12 - 4}{4} = 2$. આગળ, $b = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{1 - \cos 	heta}{	heta^{2}}$ શોધો. નિત્યસમ $1 - \cos 	heta = 2 \sin^{2}(	heta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $b = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(	heta/2)}{	heta^{2}} = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(	heta/2)}{4(	heta/2)^{2}} = \frac{2}{4}(1)^{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે. હવે, સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} (\frac{1}{2})^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^{r}$ ની ગણતરી કરો. આ $n+1$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે, જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $4$ છે. સરવાળો $2^{-n} \left[ \frac{1(4^{n+1} - 1)}{4 - 1} ight] = 2^{-n} \left[ \frac{4^{n+1} - 1}{3} ight] = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^{n}}$ થાય છે.

ધારો કે $a = \min \{x^{2} + 2x + 3 : x \in R\}$ અને $b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}}$. તો $\sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r}$ શું થાય?

Similar Questions

જો $a, b, c$ એ $GP$ માં હોય અને $4a, 5b, 4c$ એ $AP$ માં હોય અને $a + b + c = 70$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3$ ની કિંમત શોધો.

નીચેની શ્રેણીમાં $7^{\text{th}}$ પદ શોધો જેનું $n^{\text{th}}$ પદ $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module