मान लीजिए f(x) = [x^2] sin(pi x), x 0 के लि | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ ए

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इनमें से कोई नहीं

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(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है, अर्थात $x = \sqrt{n}$ जहाँ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$।गुणनफल $f(x) = g(x)h(x)$ के किसी बिंदु $x_0$ पर सतत होने के लिए, जहाँ $g(x)$ असतत है, $h(x_0) = 0$ होना आवश्यक है।यहाँ, $h(x) = \sin(\pi x) = 0$ तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक हो।यदि $x^2 = n$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) और $x$ भी एक पूर्णांक है, तो $x = \sqrt{n}$ एक पूर्णांक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $n$ एक पूर्ण वर्ग है।यदि $x^2 = n$ है लेकिन $x$ पूर्णांक नहीं है, तो $\sin(\pi x) 
eq 0$ होता है, इसलिए फलन $f(x)$ इन बिंदुओं पर असतत रहता है।अतः, $f(x)$ केवल उन बिंदुओं पर सतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi x) = 0$ है, जो तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक है।दिए गए विकल्प सही नहीं हैं, इसलिए सही विकल्प $D$ है।

मान लीजिए $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$, $x > 0$ के लिए। तो:

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जाँच कीजिए कि क्या $f(x) = \sin |x|$ एक संतत फलन है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} & , \text{यदि } x > 0 \\ e^x \sin x + kx + \lambda \log 4 & , \text{यदि } x \le 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $500 e^\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x) = \frac{\sqrt{11+|x|-6\sqrt{2+|x|}}}{6-2\sqrt{2+|x|}}$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में असंतत है।

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