मान लीजिए f(x) एक निरंतर आवर्ती फलन है जिसका | vedclass

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Question

(B) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए, $T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है।मान लीजिए $I(a) = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$.लीबनी

Vedclass · Accepted Answer

$I$, $a$ पर निर्भर नहीं करता है

Vedclass · Answer

(B) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए, $T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है।मान लीजिए $I(a) = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$.लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dI}{da} = f(a+T) \cdot \frac{d}{da}(a+T) - f(a) \cdot \frac{d}{da}(a)$चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $T$ है, इसलिए $f(a+T) = f(a)$.अतः, $\frac{dI}{da} = f(a) - f(a) = 0$.चूंकि अवकलज $0$ है, इसलिए $I$, $a$ से स्वतंत्र है और $I = \int_{0}^{T} f(x) \, dx$ है।

मान लीजिए $f(x)$ एक निरंतर आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T$ है। मान लीजिए $I = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$. तो

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$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx = $

$\int_{2}^{4} \frac{\log(x^2)}{\log(x^2) + \log(36 - 12x + x^2)} \, dx = $

यदि $\int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx}{1+5^{\cos x}} = \frac{k \pi}{16}$ है,तो $k$ का मान $...........$ है।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx =$

समाकलन $\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1} \frac{x^2+1}{x} \right) dx = $

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