ધારો કે $|A|=6$ જ્યાં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે. જો $|adj(3adj(A^{2} \cdot adj(2A)))|=2^{m} \cdot 3^{n}$, $m, n \in N$ હોય, તો $m+n$ ની કિંમત શોધો:

જો $x, y$ કોઈપણ બે શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, $a_{i j} = xi + yj$, $A = \{a_{i j}\}_{n \times n}$ અને $P, Q$ એ બે $n \times n$ શ્રેણિકો છે જેથી $A = xP + yQ$, તો

ધારો કે $A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે. ધારો કે $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. $tr(A)$ ને $A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો કહો. ધારો કે $A^2 = I$.
વિધાન-$1$: જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\det(A) = -1$.
વિધાન-$2$: જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $tr(A) \neq 0$.

જો $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ એ સમીકરણ $x^2 - (a + d)x + k = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો

ધારો કે $M$ અને $N$ એ $\mathbb{R}$ પર $2$ કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે,જ્યાં $N$ વિકર્ણ શ્રેણિક છે. તો $M N M^{-1}$ વિકર્ણ શ્રેણિક ક્યારે હોય . . . . . .

ધારો કે $\Omega$ એ તમામ $3 \times 3$ સંમિત શ્રેણિકોનો ગણ છે જેના તમામ ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે. આમાંથી પાંચ ઘટકો $1$ છે અને ચાર ઘટકો $0$ છે.
$1.$ $\Omega$ માં શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?
$(A) 12$ $(B) 6$ $(C) 9$ $(D) 3$
$2.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ નો ઉકેલ અનન્ય છે?
$(A) 4$ થી ઓછી $(B) 4$ કે તેથી વધુ પણ $7$ થી ઓછી $(C) 7$ કે તેથી વધુ પણ $10$ થી ઓછી $(D) 10$ કે તેથી વધુ
$3.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ સુસંગત નથી?
$(A) 0$ $(B) 2$ થી વધુ $(C) 2$ $(D) 1$