माना S = { theta in [0, 4pi] : tan^2 theta ne | vedclass

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Question

(C) दिया गया व्यंजक $2(\cos^8 	heta - \sin^8 	heta) \sec 2	heta = a^2$ है।वर्गों के अंतर का उपयोग करते हुए, $\cos^8 	heta - \sin^8 	heta = (\cos^

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$2$

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(C) दिया गया व्यंजक $2(\cos^8 	heta - \sin^8 	heta) \sec 2	heta = a^2$ है।वर्गों के अंतर का उपयोग करते हुए, $\cos^8 	heta - \sin^8 	heta = (\cos^4 	heta - \sin^4 	heta)(\cos^4 	heta + \sin^4 	heta) = (\cos^2 	heta - \sin^2 	heta)(\cos^2 	heta + \sin^2 	heta)(\cos^4 	heta + \sin^4 	heta) = \cos 2	heta (\cos^4 	heta + \sin^4 	heta)$ होता है।इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \cos 2	heta (\cos^4 	heta + \sin^4 	heta) \cdot \frac{1}{\cos 2	heta} = 2(\cos^4 	heta + \sin^4 	heta) = a^2$ प्राप्त होता है।हम जानते हैं कि $\cos^4 	heta + \sin^4 	heta = (\cos^2 	heta + \sin^2 	heta)^2 - 2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2	heta$ होता है।अतः, $a^2 = 2(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2	heta) = 2 - \sin^2 2	heta$ है।चूँकि $0 \le \sin^2 2	heta \le 1$, इसलिए $2 - 1 \le a^2 \le 2 - 0$, जिसका अर्थ है $1 \le a^2 \le 2$।चूँकि $a \in \mathbb{Z}$, $a^2$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। $[1, 2]$ अंतराल में केवल $1$ ही पूर्ण वर्ग है।इसलिए, $a^2 = 1$, जिसका अर्थ है $a = 1$ या $a = -1$।अतः, समुच्चय $S$ में $2$ अवयव हैं।

माना $S = \{ \theta \in [0, 4\pi] : \tan^2 \theta \neq 1 \}$ और $S = \{ a \in \mathbb{Z} : 2(\cos^8 \theta - \sin^8 \theta) \sec 2\theta = a^2, \theta \in S \}$ है। तो $n(S)$ है:

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