मान लीजिए int_{-2}^{2} (sin |x| + [x sin x]) | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx$.चूँकि $\sin |x|$ और $[x \sin x]$ दोनों सम फलन हैं, इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} (\sin x + [x

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$2$

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(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx$.चूँकि $\sin |x|$ और $[x \sin x]$ दोनों सम फलन हैं, इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} (\sin x + [x \sin x]) dx$.सबसे पहले, $\int_{0}^{2} \sin x dx = [-\cos x]_0^2 = 1 - \cos 2$.इसके बाद, $[0, 2]$ अंतराल पर $[x \sin x]$ के लिए, $x \sin x$ का मान $x=0$ पर $0$ से शुरू होकर $x=\pi/2 \approx 1.57$ पर अधिकतम होता है। $[x \sin x] = 1$ के लिए $x \in [1, 2]$ लेने पर, $\int_{0}^{2} [x \sin x] dx = 1$.अतः, $I = 2(1 - \cos 2) + 2(1) = 4 - 2 \cos 2$.$4 - 2 \cos 2$ की तुलना $2(3 - \cos 2) + \beta = 6 - 2 \cos 2 + \beta$ से करने पर, $\beta = -2$ प्राप्त होता है।इस प्रकार, $\beta \sin(\beta/2) = -2 \sin(-1) = 2 \sin(1)$।

मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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