मान लीजिए कि y = y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x+x^2)(1-y+y^2)$ है।चरों को अलग करने पर, $\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x+x^2) dx$ प्राप्त होता है।हर

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$\sqrt{3}	an \left(\frac{11\sqrt{3}}{12}ight)$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x+x^2)(1-y+y^2)$ है।चरों को अलग करने पर, $\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x+x^2) dx$ प्राप्त होता है।हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2-y+1 = (y-1/2)^2 + 3/4$।अतः, $\int \frac{dy}{(y-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C$।सूत्र $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर, $\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}ight) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।चूँकि $y(0) = 1/2$ है, $\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(0) = 0 + 0 + 0 + C$, जिसका अर्थ है $C = 0$।अतः, $\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}ight) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$।$x = 1$ पर, $\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}ight) = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6$।$	an^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}ight) = \frac{11}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{12}$।इसलिए, $2y(1)-1 = \sqrt{3} 	an \left(\frac{11\sqrt{3}}{12}ight)$।

मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x+x^2)(1-y+y^2)$ का हल है, जहाँ प्रारंभिक स्थिति $y(0) = \frac{1}{2}$ है। तो $(2y(1) - 1)$ का मान है:

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उस वक्र का समीकरण क्या है जो बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है और अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy}{x^2 + 1}$ को संतुष्ट करता है?

$x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$ का हल है

$\cos y \frac{dy}{dx} = e^{x+\sin y} + x^2 e^{\sin y}$ का हल $f(x) + e^{-\sin y} = C$ ($C$ एक स्वैच्छिक वास्तविक स्थिरांक है) है, जहाँ $f(x)$ बराबर है:

अवकल समीकरण $(1 + \cos x)dy = (1 - \cos x)dx$ का हल है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \cot x \cdot \cot y$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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