मान लीजिए f(x) = (1 + b^2)x^2 + 2bx + 1 और m( | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $x$ में एक द्विघात समीकरण $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 1 + b^2$,$B = 2b$,और $C = 1$ है।सभी वास्तविक $b$ के लिए $A =

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$(0, 1]$

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(D) दिया गया फलन $x$ में एक द्विघात समीकरण $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 1 + b^2$,$B = 2b$,और $C = 1$ है।सभी वास्तविक $b$ के लिए $A = 1 + b^2 > 0$ है,इसलिए फलन का न्यूनतम मान $x = -\frac{B}{2A}$ पर प्राप्त होता है।न्यूनतम मान $m(b) = f(-\frac{B}{2A}) = C - \frac{B^2}{4A}$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर: $m(b) = 1 - \frac{(2b)^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{4b^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{b^2}{1 + b^2}$.इसे सरल करने पर,हमें $m(b) = \frac{1 + b^2 - b^2}{1 + b^2} = \frac{1}{1 + b^2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $b^2 \ge 0$,इसलिए $1 + b^2 \ge 1$ है,जिसका अर्थ है कि $0 अतः,$m(b)$ का परिसर $(0, 1]$ है।

मान लीजिए $f(x) = (1 + b^2)x^2 + 2bx + 1$ और $m(b)$ किसी दिए गए $b$ के लिए $f(x)$ का न्यूनतम मान है। जैसे-जैसे $b$ बदलता है,$m(b)$ का परिसर क्या है?

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