माना f(x) = (sin^{-1} x)^2 + (cos^{-1} x)^2 अ | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$।इसे $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = (\sin^

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$\frac{11\pi^2}{8}$

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(B) $f(x)$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$।इसे $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$।माना $t = \sin^{-1} x$। चूंकि $x \in [-1, 1]$, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$।$f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$।यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। शीर्ष $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।चूंकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, न्यूनतम मान $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ है।अधिकतम मान अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के अंत बिंदुओं पर होता है।$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$।$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$।अतः, अधिकतम मान $\frac{5\pi^2}{4}$ और न्यूनतम मान $\frac{\pi^2}{8}$ है।योग $= \frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$।

माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ अपने प्रांत पर परिभाषित एक वास्तविक मान फलन है। तब $f(x)$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग है

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