मान लीजिए t in (0, 1) और alpha in (0, frac{pi | vedclass

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Question

(A) Step $1$: Simplify $x$. Let $t = 	an 	heta$. Then $x = 	ext{cosec}^{-1} \left( \frac{1 + 	an^2 	heta}{2 	an 	heta} ight) = 	ext{cosec}^{

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$\frac{1}{2 \cos \alpha \sqrt{\cos 2\alpha}}$

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(A) Step $1$: Simplify $x$. Let $t = 	an 	heta$. Then $x = 	ext{cosec}^{-1} \left( \frac{1 + 	an^2 	heta}{2 	an 	heta} ight) = 	ext{cosec}^{-1} \left( \frac{\sec^2 	heta}{2 	an 	heta} ight) = 	ext{cosec}^{-1} \left( \frac{1}{2 \sin 	heta \cos 	heta} ight) = 	ext{cosec}^{-1} (	ext{cosec} 2	heta) = 2	heta = 2 	an^{-1} t$.
Step $2$: Simplify $y$. Let $t = \sin \phi$. Then $y = \cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 - \sin^2 \phi}}{\sin \phi} ight) = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \phi}{\sin \phi} ight) = \cot^{-1} (\cot \phi) = \phi = \sin^{-1} t$.
Step $3$: Find $\frac{dy}{dx}$. $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ and $\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$. Thus, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{1 + t^2}{2} = \frac{1 + t^2}{2 \sqrt{1 - t^2}}$.
Step $4$: Calculate $f(	an \alpha)$. $f(	an \alpha) = \frac{1 + 	an^2 \alpha}{2 \sqrt{1 - 	an^2 \alpha}} = \frac{\sec^2 \alpha}{2 \sqrt{1 - 	an^2 \alpha}} = \frac{1}{2 \cos^2 \alpha \sqrt{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}} = \frac{1}{2 \cos \alpha \sqrt{\cos 2\alpha}}$.

मान लीजिए $t \in (0, 1)$ और $\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$ है। यदि $x = \text{cosec}^{-1} \left( \frac{1 + t^2}{2t} \right)$, $y = \cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 - t^2}}{t} \right)$ और $\frac{dy}{dx} = f(t)$ है, तो $f(\tan \alpha)$ का मान है

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यदि $x=a(1-\cos \theta)$ और $y=a(\theta-\sin \theta)$ है,तो $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=$

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यदि $x = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$ है, तो $\frac{d^2 y}{d x^2} = \rule{1cm}{0.15mm} \, (a \neq 0; \theta \neq k\pi, k \in Z)$ ज्ञात कीजिए।

यदि $x = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$ है,तो $\frac{d^2 y}{d x^2} =$ . . . . . . . (जहाँ $a \neq 0$ और $\theta \neq k \pi, k \in Z$)

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