माना $\vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{CB} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ समांतर चतुर्भुज $OBDC$ के विकर्ण हैं। यदि $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ एक अन्य सदिश है, तो सदिशों $\vec{OA}, \vec{OB}$, और $\vec{OC}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन (घन इकाइयों में) है:

यदि सदिश $\vec{A} = 2i + 3j + 4k$,$\vec{B} = i + j + 5k$,और $\vec{C}$ एक वामहस्त निकाय (left-handed system) बनाते हैं,तो $\vec{C}$ है

यदि सदिश $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ असमतलीय हैं,तो $\frac{[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}]}{[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]}=$

यदि $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ है,तो $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $4 \hat{i}-\hat{j}-\lambda \hat{k}$ हैं। यदि बिंदु $A, B, C$ और $D$ एक ही समतल में स्थित हैं, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$,$\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$ तीन शून्येतर सदिश हैं,जहाँ $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है। यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|^2 = \dots$