मान लीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लि | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $h(x) = f(x) - (f(x))^2 + (f(x))^3$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3(f(x))^2 f'(x)$ $f'(x)$ को कॉमन लेने

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$h$ वर्धमान है जब $f$ वर्धमान है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $h(x) = f(x) - (f(x))^2 + (f(x))^3$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3(f(x))^2 f'(x)$ $f'(x)$ को कॉमन लेने पर: $h'(x) = f'(x) [1 - 2f(x) + 3(f(x))^2]$ द्विघात व्यंजक $3(f(x))^2 - 2f(x) + 1$ का विश्लेषण करने के लिए,पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं: $3(f(x))^2 - 2f(x) + 1 = 3 \left( (f(x))^2 - \frac{2}{3}f(x) + \frac{1}{3} \right)$ $= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \right)$ $= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$ चूंकि $(f(x) - \frac{1}{3})^2 \ge 0$,इसलिए पद $(f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$ हमेशा धनात्मक है। अतः,$h'(x) = 3f'(x) \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$। चूंकि कोष्ठक में दिया गया पद हमेशा धनात्मक है,इसलिए $h'(x)$ का चिह्न $f'(x)$ के चिह्न के समान होगा। इस प्रकार,जब $f$ वर्धमान है तो $h$ भी वर्धमान है।

मान लीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $h(x) = f(x) - (f(x))^2 + (f(x))^3$ है। तो

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अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में,निम्नलिखित फलनों में से एक ह्रासमान (decreasing) फलन है

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दर्शाइए कि $f(x) = \sin x$ द्वारा प्रदत्त फलन $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में ह्रासमान है।

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