मान लीजिए f(x) = x|x| और g(x) = sin x है।कथन- | vedclass

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Question

(D) हमारे पास $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$ है।अतः,$(gof)(x) = \sin(x|x|) = \begin{cases} -\sin(x^2), & x < 0 \ \sin(x^2), & x \ge 0 \end{cases}$

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ असत्य है।

Vedclass · Answer

(D) हमारे पास $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$ है।अतः,$(gof)(x) = \sin(x|x|) = \begin{cases} -\sin(x^2), & x $x=0$ पर $gof$ का $LHD$: $\lim_{x 	o 0^-} \frac{-\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x 	o 0^-} -x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}ight) = 0$ है।$x=0$ पर $gof$ का $RHD$: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x 	o 0^+} x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}ight) = 0$ है।चूंकि $LHD = RHD = 0$,इसलिए $gof$,$x=0$ पर अवकलनीय है और $(gof)'(0) = 0$ है।अवकलज $(gof)'(x) = \begin{cases} -2x\cos(x^2), & x चूंकि $\lim_{x 	o 0^-} (gof)'(x) = 0$ और $\lim_{x 	o 0^+} (gof)'(x) = 0$,इसलिए अवकलज $x=0$ पर सतत है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।अब,$x=0$ पर द्वितीय अवकलनीयता की जाँच करते हैं:$x=0$ पर $(gof)'$ का $LHD$: $\lim_{x 	o 0^-} \frac{-2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = -2\cos(0) = -2$ है।$x=0$ पर $(gof)'$ का $RHD$: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = 2\cos(0) = 2$ है।चूंकि $LHD 
eq RHD$,इसलिए $gof$,$x=0$ पर दो बार अवकलनीय नहीं है। अतः,कथन-$2$ असत्य है।

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 1, & \forall x < 0 \\ 1 + \sin x, & \forall 0 \le x \le \pi/2 \end{cases}$,तो $x = 0$ पर $f'(x)$ का मान क्या है?

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दोनों $x = x_0$ पर अवकलनीय फलन हैं,तो $h(x) = \text{Maximum} \{f(x), g(x)\}$ के रूप में परिभाषित फलन:

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

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