ધારો કે $a$ અને $b$ એ $x^2 - 3x + p = 0$ ના બીજ છે અને $c$ અને $d$ એ $x^2 - 12x + q = 0$ ના બીજ છે,જ્યાં $a, b, c, d$ એક વધતી જતી $G$.$P$. બનાવે છે. તો $(q + p) : (q - p)$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

ધારો કે $729, 81, 9, 1, \dots$ એક શ્રેણી છે અને $P_{n}$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે. જો $2\sum_{n=1}^{40}(P_{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{3^{\alpha}-1}{3^{\beta}}$ અને $\gcd(\alpha,\beta)=1$ હોય, તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

જેનું $n^{th}$ પદ $a_{n} = 2^{n}$ હોય તેવી શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદ લખો.

વિધેયો $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ અને $g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ માટે, જ્યાં $\alpha > \beta > 0$, ધારો કે $\min_{0 < \theta < \pi/2} f(\theta) = \max_{0 < \theta < \pi} g(\theta)$. જો એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $(\frac{\alpha}{2\beta})$ હોય, તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $(\frac{2\beta}{\alpha})$ હોય અને તેના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $\gcd(m,n)=1$, તો $m+n$ ની કિંમત . . . . . . છે.

શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots$ નું કયું પદ $\frac{1}{19683}$ છે?

ધારો કે $a, b, c, d$ અને $p$ એ કોઈ શૂન્યતર ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2} - 2(ab+bc+cd) p + (b^{2}+c^{2}+d^{2}) = 0$ થાય. તો: