मान लीजिए f : R rightarrow R एक अवकलनीय फलन ह | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 1} \int_{4}^{f(x)} \frac{2t \, dt}{x - 1}$ है।चूंकि $f(1) = 4$,जैसे ही $x \rightarrow 1$,समाकलन $\int_{4}^{4} \

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$8f'(1)$

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(D) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 1} \int_{4}^{f(x)} \frac{2t \, dt}{x - 1}$ है।चूंकि $f(1) = 4$,जैसे ही $x \rightarrow 1$,समाकलन $\int_{4}^{4} \frac{2t \, dt}{0}$ हो जाता है,जो $\frac{0}{0}$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है।हम एल-हॉस्पिटल नियम और लाइबनिज समाकलन नियम लागू करते हैं:$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} \int_{4}^{f(x)} 2t \, dt}{\frac{d}{dx} (x - 1)}$लाइबनिज नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \int_{4}^{f(x)} 2t \, dt = 2f(x) \cdot f'(x)$ है।अतः,$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2f(x) \cdot f'(x)}{1}$ है।$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = 2f(1) \cdot f'(1)$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $f(1) = 4$,इसलिए $L = 2(4) \cdot f'(1) = 8f'(1)$ है।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और $f(1) = 4$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 1} \int_{4}^{f(x)} \frac{2t \, dt}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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