मान लीजिए f : R rightarrow R एक अवकलनीय फलन ह | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $L = \lim_{x 	o 2} \int_{2}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ है। चूंकि $f(2) = 2$,जब $x 	o 2$ होता है,तो समाकलन $\int_{2}^{2} \frac{4t^3}

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$32 f'(2)$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $L = \lim_{x 	o 2} \int_{2}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ है। चूंकि $f(2) = 2$,जब $x 	o 2$ होता है,तो समाकलन $\int_{2}^{2} \frac{4t^3}{0} dt$ बन जाता है,जो $\frac{0}{0}$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है। हम लेबनीज नियम और एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हैं: $L = \lim_{x 	o 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{2}^{f(x)} 4t^3 dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$. लेबनीज नियम के अनुसार: $\frac{d}{dx} \int_{2}^{f(x)} 4t^3 dt = 4(f(x))^3 \cdot f'(x)$. हर में $\frac{d}{dx} (x - 2) = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$L = \lim_{x 	o 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1}$. $x = 2$ रखने पर: $L = 4(f(2))^3 \cdot f'(2)$. दिया गया है कि $f(2) = 2$,इसलिए $L = 4(2)^3 \cdot f'(2) = 4(8) \cdot f'(2) = 32 f'(2)$.

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है ताकि $f(2) = 2$ हो। तो $\lim_{x \to 2} \int_{2}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$x$ के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: $\sin ^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}}\right)$

यदि $y=\tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right)$,जहाँ $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$,है,तो $x=\frac{\pi}{6}$ पर $\frac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}$ के लिए, $\frac{d}{d x}\left\{\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1+\sin x}\right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{d}{{dy}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{{3y}}{2} - \frac{{{y^3}}}{2}} \right)} \right) = $

$x=0$ पर $\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$ का $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sqrt{1-x^2}}{1-2 x^2}\right)$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।

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