मान लीजिए कि f विवृत अंतराल (a, b) पर एक अवकल | vedclass

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Question

(D) कथन $I$ गलत है क्योंकि विवृत अंतराल पर अवकलनीयता अंत बिंदुओं पर सांतत्य की गारंटी नहीं देती है।कथन $II$ गलत है। अंतराल $(0, 1)$ पर फलन $f(x) = 1/x

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केवल $III$

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(D) कथन $I$ गलत है क्योंकि विवृत अंतराल पर अवकलनीयता अंत बिंदुओं पर सांतत्य की गारंटी नहीं देती है।कथन $II$ गलत है। अंतराल $(0, 1)$ पर फलन $f(x) = 1/x$ पर विचार करें। यह फलन $(0, 1)$ पर अवकलनीय है लेकिन जैसे-जैसे $x 	o 0^+$ होता है,यह परिबद्ध नहीं रहता है।कथन $III$ सत्य है। चूंकि $f$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए यह $(a, b)$ पर सतत है। अतः,$f$ संवृत उप-अंतराल $[a_1, b_1]$ पर भी सतत है। मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,चूंकि $f(a_1) < 0 < f(b_1)$ है,इसलिए $(a_1, b_1)$ में कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ अवश्य होनी चाहिए जिसके लिए $f(c) = 0$ हो।

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