ધારો કે $f(1) = -2$ અને $1 \le x \le 6$ માટે $f'(x) \ge 4.2$ છે. $f(6)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ અને $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ માટે $g(x) = f'(x)$ છે. જો $P$ એ વક્ર $y = g(x)$ પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $P$ આગળનો સ્પર્શક,વક્રના બિંદુઓ $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ અને $(3, g(3))$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો બિંદુ $P$ ના યામ શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર સતત વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0) = f(1) = f^{\prime}(0) = 0$ થાય. તો:

મધ્યકમાન પ્રમેય $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ જ્યાં $a < x_1 < b$ માટે,જો $f(x) = 1/x$ હોય,તો $x_1 = ?$

જો વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ માટે રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું હશે?

અંતરાલ $[-2, 2]$ માં વક્ર $y = x^3$ ના બિંદુઓનો એબ્સિસિસા (x-યામ),જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ અંતરાલ $[-2, 2]$ માટે છેદિકા રેખાના ઢાળ જેટલો હોય,તે શોધો: