मान लीजिए $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$ है। $f(6)$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

यदि फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$ अंतराल $[1, 3]$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

यदि एक फलन $f$,$R$ पर अवकलनीय है और सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 4$ है; और यदि $f(2)=-6$ और $f(6)=8$ है,तो $f(4)$ का मान किस अंतराल में होगा?

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है, इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

यदि $a + b + c = 0$ है,तो समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के अंतराल $(0, 1)$ में कितने मूल हैं?

मान लीजिए $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,और $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ऐसे फलन हैं कि $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ जहाँ $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ जहाँ $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ जहाँ $x>0$,और $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ जहाँ $x>0$.
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ प्रत्येक $x>1$ के लिए,एक ऐसा $\alpha \in(1, x)$ मौजूद है कि $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ प्रत्येक $x>0$ के लिए,एक ऐसा $\beta \in(0, x)$ मौजूद है कि $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ अंतराल $[0, \frac{3}{2}]$ पर एक वर्धमान फलन है
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,सभी $x>0$ के लिए
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,सभी $x>0$ के लिए
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए