मान लीजिए f अंतराल [a, b] पर एक सतत अवकलनीय फ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in

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किसी $x \in(a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) = 0$

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(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। चूँकि $f^{\prime}(a)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$ है, और $f^{\prime}$ अंतराल $[a, c]$ पर सतत है तथा $(a, c)$ पर अवकलनीय है, इसलिए हम अंतराल $[a, c]$ पर $f^{\prime}$ के लिए रोले का प्रमेय लागू कर सकते हैं। अतः, कम से कम एक $k \in (a, c)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime \prime}(k)=0$ है। चूँकि $(a, c) \subset (a, b)$, इसलिए किसी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ होगा।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है, इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

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$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में $C$ का मान है:

यदि $a + b + c = 0$ है,तो समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के अंतराल $(0, 1)$ में कितने मूल हैं?

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