माना कि A, B, और C दीर्घवृत्त frac{x^2}{25} + | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ है। माना $A$ और $C$ के निर्देशांक $(-5\cos 	heta, -4\sin 	heta)$ और $(5\cos 	heta,

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$15\sqrt{3}$

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(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ है। माना $A$ और $C$ के निर्देशांक $(-5\cos 	heta, -4\sin 	heta)$ और $(5\cos 	heta, -4\sin 	heta)$ हैं,जहाँ $	heta \in (0, \pi/2)$ है। बिंदु $B$ लघु अक्ष का धनात्मक कोटि वाला अंतिम बिंदु है,अतः $B = (0, 4)$ है। $\Delta ABC$ का आधार $AC$ की लंबाई है,जो $5\cos 	heta - (-5\cos 	heta) = 10\cos 	heta$ है। $\Delta ABC$ की ऊँचाई $B(0, 4)$ से रेखा $y = -4\sin 	heta$ तक की लंबवत दूरी है,जो $4 - (-4\sin 	heta) = 4(1 + \sin 	heta)$ है। $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes (10\cos 	heta) 	imes (4(1 + \sin 	heta)) = 20\cos 	heta(1 + \sin 	heta)$ है। $S$ को अधिकतम करने के लिए,$	heta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{d	heta} = 20[1 - \sin 	heta - 2\sin^2 	heta]$ प्राप्त होता है। $\frac{dS}{d	heta} = 0$ रखने पर,$2\sin^2 	heta + \sin 	heta - 1 = 0$ मिलता है,जिसके गुणनखंड $(2\sin 	heta - 1)(\sin 	heta + 1) = 0$ हैं। चूँकि $	heta \in (0, \pi/2)$ है,इसलिए $\sin 	heta = 1/2$,अर्थात $	heta = \pi/6$ है। $\sin 	heta = 1/2$ और $\cos 	heta = \sqrt{3}/2$ मान रखने पर: $S_{\max} = 15\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + 1} + \frac{y^2}{a^2 + 2} = 1$ की उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है,तो दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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