ધારો કે f એ એક વિકલનીય વિધેય f : R rightarrow | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. તેથી $g'(x) = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$2e$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. તેથી $g'(x) = \frac{f(x)}{1+x^2}$. સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + g(x)$. $f(x) = (1+x^2)g'(x)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $g'(x) = 1 + g(x)$. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dg}{dx} - g = 1$. સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે. $e^{-x}$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(g(x)e^{-x}) = e^{-x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $g(x)e^{-x} = -e^{-x} + C$. તેથી,$g(x) = C e^x - 1$. $g(0) = \int_{0}^{0} \dots = 0$ હોવાથી,$0 = C - 1$,એટલે કે $C = 1$. આમ,$g(x) = e^x - 1$. તેથી $g'(x) = e^x$. $f(x) = (1+x^2)g'(x)$ હોવાથી,$f(x) = (1+x^2)e^x$. તેથી,$f(1) = (1+1^2)e^1 = 2e$.

Similar Questions

$(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય છે જેથી $f(1)=1$,અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. તો $f(x)$ શું છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. તો, $f(\log_{e} 5)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + ay = e^{mx}$ નો ઉકેલ શું છે?

એક સતત વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module