मान लीजिए f(x) = tan^{-1} (cot x - 2 cot 2x), | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $\cot x - 2 \cot 2x = \cot x - 2 \left( \frac{\cot^2 x - 1}{2 \cot x} \right) = \cot x - \frac{\cot^2 x - 1}{\cot x} = \frac{\cot^

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$-1$

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(A) हम जानते हैं कि $\cot x - 2 \cot 2x = \cot x - 2 \left( \frac{\cot^2 x - 1}{2 \cot x} ight) = \cot x - \frac{\cot^2 x - 1}{\cot x} = \frac{\cot^2 x - \cot^2 x + 1}{\cot x} = \frac{1}{\cot x} = 	an x$.अतः,$f(x) = 	an^{-1}(	an x)$.$x \in [1, 7]$ के लिए,हम $f(r) = 	an^{-1}(	an r)$ का मान निकालते हैं:$f(1) = 1$ (चूंकि $1 \in (-\pi/2, \pi/2)$)$f(2) = 2 - \pi$ (चूंकि $2 \in (\pi/2, 3\pi/2)$)$f(3) = 3 - \pi$$f(4) = 4 - \pi$$f(5) = 5 - 2\pi$ (चूंकि $5 \in (3\pi/2, 5\pi/2)$)$f(6) = 6 - 2\pi$$f(7) = 7 - 2\pi$इन मानों का योग करने पर: $\sum_{r=1}^7 f(r) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) - (3\pi + 6\pi) = 28 - 9\pi$.चूंकि $\pi \approx 3.14159$,इसलिए $9\pi \approx 28.2743$.अतः,$[28 - 9\pi] = [28 - 28.2743] = [-0.2743] = -1$.

मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1} (\cot x - 2 \cot 2x)$,तो $\left[ \sum_{r = 1}^7 f(r) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

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