ધારો કે એક વક્ર $y = y(x)$ બિંદુ $(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે અને આ વક્રની નીચે,$x$-અક્ષની ઉપર અને $3$ અને $x (>3)$ વચ્ચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ છે. જો આ વક્ર પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $(\alpha, 6\sqrt{10})$ માંથી પણ પસાર થતો હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $........$ છે.

જો $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \log x^2$ અને $y(e) = 0$ હોય,તો $y(e^2) = $

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+2x}{\sqrt{1-x^{2}}}, x \in(-1,1)$ નો ઉકેલ વક્ર $y=f(x)$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો $\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime}-y \tan x=2 x \sec x$ અને $y(0)=0$ નું સમાધાન કરે છે, તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$
$(B)$ $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi^2}{9}$
$(C)$ $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}} + \frac{\pi}{\sqrt{2}}$
$(D)$ $y'(\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$

વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} - xy = 1$ નો ઉકેલ છે...