मान लीजिए कि एक फलन f(x) इस प्रकार परिभाषित ह | vedclass

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Question

(B) किसी फलन $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = 1$ पर फलन का मान $x$ के $1$ की ओर बाईं ओर से अग्रसर होने पर फलन की सीमा से कम य

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$(\cos 3, 1]$

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(B) किसी फलन $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = 1$ पर फलन का मान $x$ के $1$ की ओर बाईं ओर से अग्रसर होने पर फलन की सीमा से कम या उसके बराबर होना चाहिए।$f(1) = 4(1) = 4$.$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} (\cos^{-1}(\mu) + x^2) = \cos^{-1}(\mu) + 1$.स्थानीय न्यूनतम मान के लिए,$f(1) \leq \lim_{x 	o 1^-} f(x)$ होना चाहिए।$4 \leq \cos^{-1}(\mu) + 1$.$\cos^{-1}(\mu) \geq 3$.चूंकि $\cos^{-1}(\mu)$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $3 \leq \cos^{-1}(\mu) \leq \pi$.सभी पदों का कोसाइन लेने पर (ध्यान दें कि $[0, \pi]$ में $\cos$ एक घटता हुआ फलन है,इसलिए असमानता के चिह्न बदल जाएंगे):$\cos(3) \leq \mu \leq \cos(0)$.चूंकि $\cos(0) = 1$,इसलिए $\cos(3) \leq \mu \leq 1$.अतः,$\mu$ का अंतराल $[\cos 3, 1]$ है।

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