ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક $X$-અક્ષને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $R$ એ $y=x$ ની સાપેક્ષે $Q$ નું પ્રતિબિંબ છે. જો $S$ એ $QR$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતું વર્તુળ હોય,તો તે નિશ્ચિત બિંદુ કયું છે જેમાંથી વર્તુળ $S$ પસાર થાય છે?

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ છે અને ધારો કે $P$ માંથી મુખ્ય અક્ષ પર દોરેલો લંબ તેના સહાયક વર્તુળને $Q$ માં મળે છે. જો ઉપવલય અને સહાયક વર્તુળ પર અનુક્રમે $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબ $R$ માં મળતા હોય,તો $R$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા અને બિંદુઓ $(-3, 1)$ તથા $(2, -2)$ માંથી પસાર થતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જ્યાં $a > b$ છે.

એક ઉપવલયની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અનુક્રમે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ પર છે. જો તેના નાભિલંબની લંબાઈ $4$ હોય અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $C$ એ લંબવૃત્તીય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને આવરી લેતું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે. ધારો કે $PQR$ એક ચલ ત્રિકોણ છે,જેનો શિરોબિંદુ $P$ વર્તુળ $C$ પર છે અને $2$ લંબાઈની બાજુ $QR$ એ $E$ ની મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે અને તે $E$ ના ઋણ $y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો:

ઉપવલયના પ્રાચલ સમીકરણો શોધો જેના નાભિઓ $(-3, 0)$ અને $(9, 0)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{3}$ છે.