मान लीजिए कि फलन g: (-infty, infty) rightarro | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $g(u) = 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ है।विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:$g(-u) = 2 	an^{-1}(e^{-u}

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विषम है और $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया फलन $g(u) = 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ है।विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:$g(-u) = 2 	an^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.सर्वसमिका $	an^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $	an^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(e^u)$.इसे $g(-u)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$g(-u) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(e^u) ight) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(e^u) = -g(u)$.चूँकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $g'(u)$ ज्ञात करते हैं:$g'(u) = \frac{d}{du} (2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.चूँकि सभी $u \in (-\infty, \infty)$ के लिए $e^u > 0$ है,इसलिए $g'(u) > 0$ है।अतः,$g$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

मान लीजिए कि फलन $g: (-\infty, \infty) \rightarrow \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,$g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ द्वारा दिया गया है। तब,$g$ है

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