मान लीजिए कि फलन f, g और h इस प्रकार परिभाषित | vedclass

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Question

(C) $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ का उपयोग करते हैं।$(1)$ $f(x)$ के लि

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केवल $g$ और $h$

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(C) $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ का उपयोग करते हैं।$(1)$ $f(x)$ के लिए:$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} \sin(1/h)$.चूँकि $\lim_{h 	o 0} \sin(1/h)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए यह सीमा मौजूद नहीं है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।$(2)$ $g(x)$ के लिए:$g'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} h \sin(1/h)$.चूँकि $|h \sin(1/h)| \le |h|$,स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,सीमा $0$ है। अतः,$g(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।$(3)$ $h(x) = |x|^3$ के लिए:$h'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{|h|^3 - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{|h|^3}{h}$.$h > 0$ के लिए,$\frac{h^3}{h} = h^2 	o 0$। $h चूँकि सीमा मौजूद है और $0$ है,इसलिए $h(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।अतः,$g$ और $h$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय हैं। सही विकल्प $C$ है।

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