ધારો કે વિધેયો f: R rightarrow R અને g: R rig | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $f(x) = e^{x-1} - e^{-|x-1|}$ અને $g(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$.$x \leq 1$ માટે,$|x-1| = 1-x$,તેથી $f(x) = e^{x-1} - e^{x-1} = 0

Vedclass · Accepted Answer

$(2-\sqrt{3})+\frac{1}{2}\left(e-e^{-1}\right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $f(x) = e^{x-1} - e^{-|x-1|}$ અને $g(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$.$x \leq 1$ માટે,$|x-1| = 1-x$,તેથી $f(x) = e^{x-1} - e^{x-1} = 0$.$x \geq 1$ માટે,$|x-1| = x-1$,તેથી $f(x) = e^{x-1} - e^{1-x}$.$x \geq 1$ માટે $f(x)$ અને $g(x)$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે:$e^{x-1} - e^{1-x} = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$$2e^{x-1} - 2e^{1-x} = e^{x-1} + e^{1-x}$$e^{x-1} = 3e^{1-x} \Rightarrow e^{2(x-1)} = 3 \Rightarrow 2(x-1) = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{2}\ln 3 = 1 + \ln \sqrt{3}$.પ્રથમ ચરણમાં $y=f(x)$,$y=g(x)$ અને $x=0$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $A$:$A = \int_0^1 (g(x) - 0) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (g(x) - f(x)) dx$$A = \int_0^1 \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) - (e^{x-1} - e^{1-x})) dx$$A = \frac{1}{2}[e^{x-1} - e^{1-x}]_0^1 + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}) dx$$A = \frac{1}{2}[(e^0 - e^0) - (e^{-1} - e^1)] + [-\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}]_1^{1+\ln \sqrt{3}}$$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [(-\frac{3}{2}e^{-\ln \sqrt{3}} - \frac{1}{2}e^{\ln \sqrt{3}}) - (-\frac{3}{2} - \frac{1}{2})]$$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{2}(\sqrt{3}) + 2]$$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2] = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2}(e - e^{-1})$.

Similar Questions

પ્રદેશ $R=\{(x,y):xy \le 8, 1 \le y \le x^{2}, x \ge 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્રો $y=e^x, y=\log x$ અને રેખાઓ $x=1, x=2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

$y=x+1$, $y=\cos x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્ર $x^2=4y$ અને સીધી રેખા $x=4y-2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module