मान लीजिए कि रेखा $2x + 3y - k = 0, k > 0$,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। यदि रेखाखंड $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ है और दीर्घवृत्त $x^2 + 9y^2 = k^2$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $2m + n$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $4$ है। इसकी नाभि और इसकी संगत नियता (directrix) क्रमशः $(1, -2)$ और $3x + 4y - 15 = 0$ हैं। तब इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{1}{2}$ है।
कारण $(R)$: दीर्घवृत्त की नाभि से उसकी संगत नियता पर खींचे गए लंब की लंबाई $\frac{a(1 - e^2)}{e}$ होती है।
तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के केंद्र से इसके किसी भी स्पर्श रेखा पर खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ समीकरण क्या है?

माना दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ और $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, A < B$ की उत्केंद्रता समान $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि उनके नाभिलंब की लंबाई का गुणनफल $\frac{32}{\sqrt{3}}$ है,और $E_1$ की नाभियों के बीच की दूरी $4$ है। यदि $E_1$ और $E_2$ बिंदु $A, B, C$ और $D$ पर मिलते हैं,तो चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल क्या होगा?

$x$-अक्ष के साथ $60^\circ$ का कोण बनाने वाले दीर्घवृत्त $x^2 + 16y^2 = 16$ की स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

यदि $l$ और $b$ दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=64$ में अंतर्निहित अधिकतम क्षेत्रफल वाले आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं,तो $(l, b) =$