ધારો કે $(\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2+(x-7)^2, x \in R$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $M$ અને $m$ છે. તો $M^2-m^2$ ની કિંમત ............... થાય.

$1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો એકબીજાથી $6$ એકમ અંતરે છે. ધારો કે $P$ એ $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે અને $C$ એવું વર્તુળ છે જે $C_1$ અને $C_2$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. જો $P$ માંથી પસાર થતો $C_1$ અને $C$ નો સામાન્ય સ્પર્શક એ $C_2$ અને $C$ નો પણ સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા શોધો.

રેખા $4x + 3y - 4 = 0$ એ વર્તુળના પરિઘને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. જો $C(5, 3)$ એ તે વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય,તો વર્તુળનું સમીકરણ શું થાય?

$r_1 = 2$ અને $r_2 = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ એકબીજાને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શે છે અને એક સામાન્ય સીધી રેખાને (જે $P$ માંથી પસાર થતી નથી) અનુક્રમે $Q$ અને $R$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે. તો $PQ^2 + QR^2 + RP^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ઉપવલય $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક બિંદુ $P$ ને $\Delta ABC$ ની બહાર લેવામાં આવે છે જ્યાં $B(1, \sqrt{3})$,$A(0, 0)$,અને $C(2, 0)$ છે,પરંતુ લઘુકોણ $BAC$ ની અંદર,જેથી $\angle APC = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle BPA = \frac{\pi}{12}$ થાય. રેખા $BP$ નો ઢાળ શોધો.