मान लीजिए कि (sqrt{8x-x^2-12}-4)^2+(x-7)^2, x | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $f(x) = (\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2 + (x-7)^2$ है। मान लीजिए $y = \sqrt{8x-x^2-12}$ है। तब $y^2 = 8x-x^2-12$,जिसका अर्थ है $y^2 = -(x^2-8x+16

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$1600$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $f(x) = (\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2 + (x-7)^2$ है। मान लीजिए $y = \sqrt{8x-x^2-12}$ है। तब $y^2 = 8x-x^2-12$,जिसका अर्थ है $y^2 = -(x^2-8x+16)+4$,अर्थात $(x-4)^2 + y^2 = 2^2$ है। यह $(4,0)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाला एक अर्धवृत्त दर्शाता है,जहाँ $y \ge 0$ है। व्यंजक $f = (y-4)^2 + (x-7)^2$ बन जाता है। यह अर्धवृत्त पर स्थित बिंदु $(x, y)$ और बिंदु $P(7, 4)$ के बीच की दूरी का वर्ग दर्शाता है। केंद्र $C(4,0)$ और $P(7,4)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(7-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ है। $P$ से अर्धवृत्त की न्यूनतम दूरी $CP - r = 5 - 2 = 3$ है,इसलिए $m = 3^2 = 9$ है। $P$ से अर्धवृत्त की अधिकतम दूरी $CP + r = 5 + 2 = 7$ है,इसलिए $M = 7^2 = 49$ है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $M=41$ और $m=9$ लेने पर,$M^2-m^2 = 41^2-9^2 = 1681-81 = 1600$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $D$ है।

मान लीजिए कि $(\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2+(x-7)^2, x \in R$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $M$ और $m$ हैं। तो $M^2-m^2$ का मान ............... है।

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