ધારો કે વિકલ સમીકરણ x dy - y dx = sqrt{x^{2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ હોવાથી): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ હોવાથી): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$. આને આ રીતે લખી શકાય: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$. પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$. $y(1) = 0$ આપેલ છે, તેથી $x = 1, y = 0$ મૂકતા: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. તેથી, $\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$. $x$ વડે ગુણતા: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$. $y(3)$ શોધવા માટે, $x = 3$ મૂકતા: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$. $\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$. $18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$, જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 0$, નો ઉકેલ વક્ર $y = y(x)$ છે. તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

બિંદુ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $\left(e^x \tan y\right) dx + \left((1+e^x) \sec^2 y\right) dy = 0$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ નો ઉકેલ શોધો.

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} + 1 = e^{x+y}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y^2)$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module