मान लीजिए कि अवकल समीकरण x dy - y dx = sqrt{x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ है): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}}

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$4$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ है): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$. मानक समाकलन $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$. $y(1) = 0$ दिया गया है, इसलिए $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. अतः, $\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$. $x$ से गुणा करने पर: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$. $y(3)$ ज्ञात करने के लिए, $x = 3$ रखने पर: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$. $\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$. $18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$, जहाँ $x > 0$ और $y(1) = 0$, का हल वक्र $y = y(x)$ है। तो $y(3)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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