माना A={(x, y) in R times R mid 2 x^{2}+2 y^{ | vedclass

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Question

(D) समुच्चय $A$ एक वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - x - y - \frac{1}{2} = 0$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r_1 = \

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$\frac{3+2 \sqrt{5}}{2}$

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(D) समुच्चय $A$ एक वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - x - y - \frac{1}{2} = 0$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}} = 1$ है।समुच्चय $B$ एक वृत्त $S_2: x^2 + y^2 - 4y + \frac{7}{4} = 0$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_2 = (0, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4 - \frac{7}{4}} = \frac{3}{2}$ है।समुच्चय $C$ एक डिस्क $S_3: (x-2)^2 + (y-1)^2 \leq r^2$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_3 = (2, 1)$ और त्रिज्या $R = |r|$ है।$A \subseteq C$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_3 + r_1 \leq R$ होनी चाहिए।$C_1 C_3 = \sqrt{(2 - \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.अतः,$R \geq \frac{\sqrt{10}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.$B \subseteq C$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_2 C_3 + r_2 \leq R$ होनी चाहिए।$C_2 C_3 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.अतः,$R \geq \sqrt{5} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$.चूंकि $A \cup B \subseteq C$,इसलिए $R$ को दोनों शर्तों को पूरा करना होगा। अतः,$R \geq \max(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2})$.इस प्रकार,न्यूनतम मान $\frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$ है।

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